Aplikasi Kalkulus Luas Daerah

BAB I

PENDAHULUAN

1.1  Latar Belakang

        Penggunaan matematika dalam kehidupan sangat berguna untuk meningkatkan pemahaman dan penalaran, serta untuk memecahkan suatu masalah dan menafsirkan solusi dari permasalahan yang ada. Tanpa disadari ketika kita mempelajari matematika, kita memiliki ketelitian dan kecermatan yang sangat baik karena nilai-nilai pada matematika yang menggunakan nilai yang kompleks sehingga faktor ketelitian sangat

diperlukan untuk menghitung suatu rumusan masalah.

        Integral merupakan suatu bagian dari matematika yang digunakan untuk menghitung suatu luasan benda yang tak beraturan. Sama halnya seperti matematika, dalam mencari solusi integral dibutuhkan ketelitian dalam menghitung rumusan integralnya. Perhitungan integral dapat dilakukan dengan metode analitik/kalkulus dan menggunakan metode numerik. Namun metode analitik hanya dapat memberikan solusi eksak sehingga terkadang tidak dapat menyelesaikan solusi dari fungsi yang kompleks. Untuk itu, perhitungan integral dengan metode numerik dilakukan untuk menyelesaikan solusi tersebut.

        Integral dapat diaplikasikan ke dalam banyak hal. Dari yang sederhana, hingga aplikasi perhitungan yang sangat kompleks. Kegunaan integral dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali, diantaranya menentukan luas suatu bidang, menentukan volume benda putar, menentukan panjang busur dan sebagainya. Integral tidak hanya dipergunakan di matematika saja. Banyak bidanglain yang menggunakan integral, sepertiekonomi, fisika, biologi, teknik dan masih banyak lagi disiplin ilmu yang lain yang mempergunakannya. Namun dalam makalah ini yang akan dibahas adalah aplikasi intagral tentang luas suatu daerah.

1.2  Rumusan Masalah

1.2.1        Apa yang dimaksud integral?

1.2.2        Apa saja rumus-rumus yang digunakan dalam integral?

1.2.3        Bagaimana penggunaan (aplikasi) integral dalam kehidupan?

1.3  Tujuan

1.3.1        Menjelaskan definisi integral

1.3.2        Mengetahui rumus-rumus yang digunakan dalam integral

1.3.3        Memahami penggunaan (aplikasi) integral

BAB II

PEMBAHASAN

1.1    Pengertian Integral

        Integral yang biasa disebut juga “kalkulus integral” dapat digunakan untuk mencari luas suatu daerah. Dalam kalkulus integral dapat diartikan sebagai operasi invers dari turunan disebut juga anti turunan atau anti diferensial. Integral dilambangkan oleh “ʃ” yang merupakan lambang untuk menyatakan kembali F(x) dari F’(x).

Suatu fungsi F disebut anti turunan dari suatu fungsi f pada selang I, jika untuk setiap nilai x di dalam I, berlaku F’(x) = f(fx).

        Berdasarkan pengertian bahwa integral adalah invers dari operasi pendiferensialan, maka dapat disimpulkan sebagai berikut.

Apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat di diferensialkan pada interval I, sedemikian sehingga , maka anti turunan dari f(x) adalah F(x) + C dengan C konstanta sembarang.

1.2    Jenis-Jenis Integral

1.2.1        Integral Tak Tentu

        Antipendiferensialan adalah operasi untuk mendapatkan himpunan semua antiturunan dari suatu fungsi yang diberikan. Secara umum, integral tak tentu dari f(x) didefinisikan sebagai berikut.

ʃ f(x) dx = F(x) + C

Keterangan           :

ʃ                =  operasi anti turunan atau lambang integral

C              =  konstanta integrasi

f(x)            =  fungsi integran, fungsi yang akan dicari anti turunannya

F(x)           =  fungsi hasil integral

Ø Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

Rumus-rumus integral tak tentu fungsi Aljabar :

1)        ʃ dx = x + c

2)        ʃ  adx = ax + c

3)        ʃ axⁿdx = xⁿ⁺¹ + C, C ≠ 1

4)        ʃ a f(x) dx = a ʃ f(x) dx

5)        ʃ [ f(x) ± g(x) ] dx = ʃ f(x) dx ± g(x) dx

Ø Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Rumus-rumus integral tak tentu fungsi trigonometri :

1)        ʃ cos x dx = sin x + c

2)        ʃ sin x dx = - cos x + c

3)        ʃ tan x dx = - ln ǀcos xǀ + c

4)        ʃ cos (ax + b) dx = sin (ax + b) + c

5)        ʃ sin (ax + b) dx = -  cos (ax + b) + c

1.2.2        Integral Tertentu

        Integral tertentu adalah integral yang memiliki batas. Jika f suatu fungsi yang didefinsikan pad selang tutup (a,b) maka integral tentu (integral Riemann) dari f dari a sampai b dinyatakan oleh :

Jika limit itu ada, dengan f(x) disebut integran, a disebut batas bawah, b disebut batas atas, dan  disebut tanda integral tentu.

Berikut sifat-sifat integral tertentu  :

1)         f (x) dx  = 0

2)         f (x) dx = -  f (x) dx

3)         k dx = k (b - a)

4)         k f(x) dx = k f (x) dx

5)         [f (x) ± g (x)] dx = f (x) dx ± g (x) dx

6)         f (x) dx =  f (x) dx + f (x) dx; a < b < c

7)        f (x) dx g (x) dx; jika f (x) dx ≥ g (x) dx

8)        f (x) dx ≥ 0, jika f (x) ≥ 0

1.3    Aplikasi Integral

1.3.1        Luas Daerah (Area Datar) dalam Sistem Koordinat Cartesius

Diketahui fungsi f  bernilai non negatif dan terintegral pada selang [a,b]. Diperhatikan daerah dibawah kurva y = f(x), diatas sumbu X dan diantara garis x = a dan garis x = b (lihat gambar 1.1). Akan ditentukan luas daerah tersebut.

                                                                               y = f(x)

                                                   x_i-l      x_i         b

                                                   Gambar 1.1

Buat partisi P = {x₀, x₁, x₂, ..., x_n} pada selang interval [a,b]. Selanjutnya, garis-garis x = x_i, i = 1, 2, ..., n-1, membagi daerah tersebut menjadi n bagian. Luas daerah bagian ke-i sama dengan f(x_i*)D_ix, x_i* Î [x_i-l, x]. Jadi, apabila luas daerah tersebut adalah A maka :

A @ S (P, f ) =

Hal ini berarti, apabila ||P|| di buat sangat kecil mendekati 0 (yang berakibat n menjadi sangat besar) maka S(P, f ) akan mendekati luas daerah tersebut. Jadi,

A =

Ada beberapa hal yang harus diketahui dalam luas daerah yaitu :

a.       Jika f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan f(x) ≥ 0 pada interval tersebut maka luas daerah yang dibatasi oleh f(x), x = a, x = b, dan sumbu X adalah

     

b.        Jika f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan f(x) ≤ 0 pada interval tersebut maka luas daerah yang dibatasi oleh f(x), x = a, x = b, dan sumbu X adalah

c.         Jika f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan bertukar tanda, maka luas daerah yang dibatasi oleh f(x) ≤ 0, x = a, x = b, dan sumbu X sama dengan penjumlahan luas masing-masing daerah. Misal pada gambar :

Maka : Luas = Luas I + Luas II + Luas III

Jadi,

d.      Luas daerah yang dibatasi oleh grafik x = f(y), garis-garis y = a, y = b, dan sumbu Y adalah :

e.         Kalau fungsi f(x) dan g(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b, secara umum berlaku bahwa luas daerah yang dibatasi oleh f(x) dan g(x), garis x = a serta x = b adalah :

seperti tampak pada gambar berikut :

atau bila f(y) dan g(y) kontinu pada a ≤ y ≤ b, maka luas daerah yang dibatasi oleh f(y), g(y), garis y = a, dan y = b, adalah :

seperti tampak pada gambar berikut :

 

Untuk menghitung luas suatu daerah bidang dengan integral, secara umum bisa dilakukan langkah-langkah sebagai berikut :

1. Buat gambar daerah yang dimaksud, juga persegi panjang pendekatannya dengan tebal ∆x (bila persegi panjang tegak / vertikal) atau ∆y (bila persegi panjang mendatar / horizontal).

2. Tentukan luas persegi panjang pendekatan, tentukan batas kiri / kanan (untuk yang tegak) atau batas bawah / atas (untuk yang mendatar). Kemudian gunakan integral untuk menghitung jumlah luas persegi panjang tersebut yang banyaknya dibuat menjadi ∞.

1.4 Contoh Aplikasi Integral Menghitung Luas Daerah

1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x² – 4 dan garis y = 3x.

Penyelesaian:

Untuk mencari batasan atau titik potong antara kurva f(x) = y = x² – 4 dan garis g(x) = y = 3x.

kurva y = x2 – 4 dipotongkan dengan garis y = 3x. Diperoleh,

y = y

Û x² – 4 = 3x

Û x² – 4 - 3x = 0

Û (x – 4)(x + 1) = 0

Û x = 4 dan x = -1

Untuk x = 4 ⇒ y = 4² – 4 ⇒ y = 12

Untuk x = -1 ⇒ y = (-1)² – 4 ⇒ y = -3

Sehingga diperoleh pasangan perpotongan kedua kurva yaitu (4,12) dan (-1,-3).

Kemudian tentukan titik puncak menggunakan rumus , sehingga diperoleh,

Jadi, diperoleh titik puncak kurva yaitu (0,-4).

                                                         y

(4,12)

                                                                                     

                                                                                      x

                                                                   y = x² - 4

                                   (-1,-3)          

                                                  -4

Jika dilihat dari gambar, maka pada interval -1 ≤ x ≤ 4, kurva garis terletak di atas kurva parabola yang berarti bahwa g(x) – f(x) bernilai positif atau 3x – (x2 – 4) positif, sehingga luas daerah yang dibatasi kedua kurva tersebut bisa langsung dihitung menggunakan :

Jadi, dapat disimpulkan bahwa luas daerah yang dibatasi kurva y = x² – 4 dan y = 3x adalah  satuan luas.

2.         Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x³ – 16x, sumbu x, garis x = -2 dan garis x = 2.

Penyelesaian :

Gambar kurva y = x³ – 16x, sumbu x, garis x = -2 dan garis x = 2.

                                          y

                                                      Luas I

                                  -2                                     y = x³ – 16x       x

                                      Luas II             2

Diperoleh luas daerah yang diperoleh merupakan jumlahan dari luas daerah I dan luas daerah II, yaitu :

Jadi diperoleh, Luas total = luas I + luas II = 28 + 28 = 54 satuan luas.

3.         Tentukan luas daerah yang berada di kurva astroida

Penyelesaian:

Astroida tersebut mempunyai persamaan parameter :

 , 0 £ t £ 2p

                                             y

                                                  b

                                  -a                       a            x

                                                  -b

Luas area yang dicari adalah 4 kali luas area yang berada di kwadran 1. Jadi,

Jadi diperoleh luas daerah tersebut adalah  satuan luas.

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Ada beberapa hal yang harus diketahui dalam luas daerah yaitu :

a.         Jika f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan f(x) ≥ 0 pada interval tersebut maka luas daerah yang dibatasi oleh f(x), x = a, x = b, dan sumbu X adalah

b.         Jika f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan f(x) ≤ 0 pada interval tersebut maka luas daerah yang dibatasi oleh f(x), x = a, x = b, dan sumbu X adalah

c.         Jika f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan bertukar tanda, maka luas daerah yang dibatasi oleh f(x) ≤ 0, x = a, x = b, dan sumbu X sama dengan penjumlahan luas masing-masing daerah.

d.        Luas daerah yang dibatasi oleh grafik x = f(y), garis-garis y = a, y = b, dan sumbu Y adalah :

e.         Kalau fungsi f(x) dan g(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b, secara umum berlaku bahwa luas daerah yang dibatasi oleh f(x) dan g(x), garis x = a serta x = b adalah :

3.2 Saran

Semoga makalah ini bisa menjadi salah satu bahan referensi dan bisa menambah wawasan serta pengetahuan para pembaca tentang aplikasi integral luas daerah khususnya dan integral pada umumnya.

DAFTAR PUSTAKA

Fida.2009.Bahan Ajar Kalkulus Integral.Universitas Muhammaditah Purworejo

Agung Dwi Hermawan.2013. Makalah Integral Serta Penerapannya Dalam Ekonomi Dan Teknik.Universitas Brawijaya Malang

Supama,dkk.2002.Kalkulus II.Universitas Gajah Mada Yogyakarta

http://digilib.esaunggul.ac.id/public/UEU-Undergraduate-123-BAB%20I.pdf